只是完成一次普通家庭作業，就把困擾了數學家們幾十年的猜想搞出了新花樣?!

沒錯，這是來自牛津大學的Thomas Bloom的親身經歷。

在一次閱讀小組的論文分享上，他被要求解讀一篇2003年發表在《數學年刊》上的經典論文。

這篇論文證明了一個與“最古老數學問題”埃及分數有關的猜想。

簡單來說，猜想認為：將大于1的整數任意分成有限個子集，必然有一個子集中的部分整數倒數加起來為1，例如只要有一個子集中有2、3、6，就有1 = 1/2 + 1/3 + 1/6。

這一猜想被命名為Erd?s-Graham猜想。

然而，這版2003年的證明還有很多待解決的疑惑：

Thomas Bloom在解讀論文的過程中，也發現這版證明對子集的要求有點高，很多特殊情況下沒辦法成立。

再仔細一看，他突然發現，這版證明還存在著可以繼續改善的地方!

于是借著這次交作業的機會，Thomas Bloom在這篇論文的基礎上提出了一種“強化版”證明思路，整個過程甚至只用了幾周時間。

就連數論領域著名學者、蒙特利爾大學教授Andrew Granvill都感嘆這種做法的不可思議：此前我只是覺得，這是一個不可能被解決的問題，任何頭腦正常的人都沒法做到。

所以，這一猜想究竟是什么，Bloom的證明方法又究竟“不可思議”在哪里?

一個與“最古老數學問題”有關的猜想

在數學里，任意有理數都可以表示成分數，且分子分母都是整數。

但是在3000多年前的古埃及，他們的分數只有分子為1一種情況，我們現在叫它單位分數。

也就是說，他們的字典里沒有“3/4”這類東西，因為3/4也需要被寫成1/4+1/2。

古埃及的文字里，一只眼睛下面放一個數字就代表了一個單位分數。

從1到100萬都有相應的圖形。

雖然它和我們現在的數學相去甚遠，但其實所有分數都可以寫成單位分數之和的形式。

因此這種表示方法被稱作古埃及分數。

顯然，1也可以寫成古埃及分數：1 = 1/2 + 1/3 + 1/6。

這個看似簡單的問題經久不衰，1970年代，著名數學家Paul Erd?s和Ronald Graham提出了一個關于古埃及分數的猜想：把正整數劃分成若干個子集，那么必然有一個子集中存在一組數，可以把1表示成古埃及分數形式。

比如上面的1 = 1/2 + 1/3 + 1/6，某個子集中包含這2、3、6這三個數，就可以做到。

那么如果很不巧，2、3、6被分配到不同的子集中，還可以把1拆成古埃及分數形式嗎?

其實也是可以的，包含{2、3、12、18、36}一組整數也行：

表示1的方法千千萬，總有符合條件一組數滿足條件。

達特茅斯學院的數論學者Carl Pomerance對此評價道：“這可能是有史以來最古老的問題。”

沒想到的是，這個最古老的問題最近又發出新芽。

來自牛津大學的數學家Thomas Bloom最近不但提出了比Erd?s更厲害的“強化版”，還親自證明了它。

幾周就證明了一個“加強版”

那篇近20年前的論文，由一位名叫Ernie Croot的數學家撰寫，2003年發表在數學領域頂級期刊《數學年刊》上。

他解決Erd?s-Graham問題的“基礎版本”。

把所有整數隨機分配到不同的桶里，至少有一個桶必須包含一組整數，其倒數和等于1。

Bloom仔細閱讀后發現，Croot的方法實際上比最初看起來更強大：“所以我研究了幾周，這個更強大的結果就出來了。”

Bloom給出的結論是，并不需要把整數分成若干個有限集合，只要集合滿足“正密度”的條件，那么這個集合就存在一組整數倒數和為1。

所謂“正密度”是指某一組整數在全體正整數里所占的比例，比如偶數的密度是0.5。

假如有一組整數集合記作A，在前n項中不大于n的項記作α，當n趨于無窮大時，α/n極限就是叫做A的自然密度。

而Bloom提出而條件是密度大于零即可，無論這個密度多低(10%、1%、0.0001%甚至更低)，這顯然比把整數分成有限份的條件更加苛刻。

嗯，充分說明哪怕是“讀論文”這種科研作業，也要認真一點，說不定讀著讀著靈感就來了(手動狗頭)

作者介紹

Thomas Bloom，目前在牛津大學進行數學方面的研究工作，獲得過英國皇家學會大學研究金，后者專門用于給各領域杰出年輕科學家提供科研資金。

Bloom曾于布里斯托大學獲得博士學位，并在劍橋大學進行過博士后相關工作，本科畢業于牛津大學數學與哲學專業。

在進行這項研究之前，他也曾經和獲得過“數論界最高獎”柯爾獎的牛津大學教授James Maynard合作，完成過一篇關于無方差集的論文。

One More Thing

對于任意有理數，我們都可以用簡單的算法找到古埃及分數表示。

最常用的便是貪心算法。

以7/15為例，我們先找到最接近它的單位分數1/3，得到：

7/15 = 1/3 + 2/15

接著尋找最接近剩余項2/15的單位分數，即1/8。依次類推，直到剩余項也是單位分數為止。

7/15 = 1/3 + 1/8 + 1/120

怎么尋找最接近的單位分數呢?將分母除以分子并向上取整即可。

以下是Python版的代碼：

你能寫出其他語言的版本，或是寫出其他古埃及分數算法的代碼嗎?